Inflow boundary conditions for the time dependent one-dimensional Schrödinger equation

A transient quantum model for one-dimensional charge transport is derived and shown to lead in the semiclassical limit to the inflow boundary value problem for the Vlasov equation. Asymptotic formulae involving quantum reflection-transmission coefficients and time delays are used to construct a hybrid model coupling quantum descriptions to kinetic ones in a time-dependent one-dimensional setting.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Conditions aux limites entrantes pour l’équation de Schrödinger unidimensionnelle dans le régime transitoire Résumé. Un modèle transitoire de transport quantique monodimensionnel est proposé. L’analyse asymptotique de ce modèle conduit, dans la limite semi-classique, à l’équation de Vlasov avec condition au bord entrantes. Des formules asymptotiques faisant intervenir les coefficients de réflexion-transmission ainsi que les temps de retard quantiques sont obtenues et utilisées pour construire une modèle hybride (cinétique-quantique) transitoire mondimensionnel.  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Version française abrégée Nous présentons dans cette Note un modèle de transport quantique unidimensionnel transitoire, dont le pendant classique est l’équation de Vlasov avec condition de flux entrant au bord du domaine. Le modèle est transitoire en ce sens que les conditions d’injection dépendent du temps. Le potentiel électrostatique est, quant à lui, supposé stationnaire. L’analyse asymptotique de ce modèle repose sur l’utilisation de la transformée de Wigner [8,6,5] ainsi que sur l’étude de sa trace au bord [3]. Elle permet de construire un modèle hybride cinétique-quantique transitoire généralisant le modèle stationnaire développé dans [1]. Note présentée par Pierre-Louis LIONS. S0764-4442(00)01759-6/FLA  2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 S0764-4442(00)01759-6/FLA AID:1759 Vol.331(0) P.2 (1-6) CRAcad 2000/06/15 Prn:27/11/2000; 13:21 F:PXMA1759.tex by:Au p. 2 N. Ben Abdallah et al. Seuls les constructions et les arguments formels sont présentés dans cette Note. Les théorèmes précis ainsi que leur démonstration seront exposés dans [2]. Le modèle que nous construisons est la version quantique de ∂f ∂t + p ∂f ∂x − dV dx ∂f ∂p = 0; f(x, p, t) = g(x, p, t), t ∈R, (x, p) ∈Σ−, où f = f(x, p, t) est la fonction de distribution dépendant de la position x ∈ [a, b] de la particule, de son impulsion p ∈ R et du temps t ∈ R. Le potentiel électrostatique V est une fonction régulière à support dans [a, b]. Dans tout ce qui suit, pour simplifier, nous prendrons la masse de la particule égale à 1 et sa vitesse égale à son impulsion p. La partie du bord correspondant aux vitesses entrantes est Σ− = ({a} × R+) ∪ ({b} × R−) et g(x, p, t) est une fonction donnée (fonction d’injection). On notera dans la suite ga(p, t) = g(a, p, t), p > 0; gb(p, t) = g(b, p, t), p < 0. Pour construire le modèle quantique, on considère les états de scattering de l’opérateur de Schrödinger H =−~2 2 ∂ ∂x2 + V (x). Ce sont les fonctions d’onde ψ ~ p solutions de Hψ ~ p =Epψ ~ p avec Ep = p /2 telles qu’il existe des coefficients Ap et B ~ p satisfaisant ψ~ p (x) = e ip x~ +Ap e −ip x~ , x < a ψ~ p (x) =B ~ p e ip x~ , x > b } pour p > 0, ainsi que des expressions analogues pour p < 0 (en intervertissant les rôles de a et b). À partir des amplitudes de réflexion et de transmission Ap et B ~ p , on peut définir des coefficients de réflexion et de transmissionR~ p et T ~ p et des temps de retard τ ~ R et τ ~ T selon les formules (9) à (10). L’expression des temps de retard se déduit d’une analyse semi-classique développée dans la littérature physique [7,4] et démontrée dans [2]. La matrice densité ρ~ est donnée par : ρ~(x,x′, t) = ∫ t0∈R ∫ p0∈R p0 g(p0, t0)ρ ~ (p0,t0) (x,x′, t) dp0 dt0, où l’on désigne par g(p, t) la fonction ga(p, t) pour p > 0 et gb(p, t) pour p < 0. La matrice densité élémentaire ρ(p0,t0) a pour expression : ρ(p0,t0)(x,x ′, t) = 1 2π ∫ R ψ~ p0+ 2 ξ (x)ψ~ p0− 2 ξ (x′) e−iξ(a+p0(t−t0)) dξ, p0 > 0, ainsi qu’une expression similaire quand a est remplacé par b pour p0 négatif. On montre alors que la transformée de Wigner w~ de ρ~ converge quand ~ tend vers zéro vers la solution de l’équation de Vlasov ci-dessus. L’analyse asymptotique fournit également les expressions asymptotiques (8) des traces en a et b de w~, pourvu que les coefficients de réflexion-transmission R~ p et T ~ p et les temps de retard τ ~ R et τ ~ T possèdent des limites lorsque ~→ 0. Nous utilisons ces résultats pour construire un modèle hybride transitoire de transport électronique (quantique dans [a, b], et cinétique dans [0, a]∪ [b,L]) : le potentiel V étant connu, on calcule les fonctions d’onde et on en déduit les coefficients de réflexion-transmission ainsi que les temps de retard. On résout ensuite l’équation de Vlasov (ou de Boltzmann) pour la fonction de distribution fC(x, p, t) dans la zone classique avec comme conditions d’interface